Числа как геометрические точки. - 21 Августа 2012 - Блог

Главная » » Числа как геометрические точки.

20:58

Числа как геометрические точки.

Существует множество различных методов обозначения числа. Использование цифр — пожалуй, самый абстрактный из всех. Наиболее распространенный и знакомый нам способ — расположение чисел на прямой: например, на линейках, рулетках и других инструментах измерения длины
Натуральные числа
Числа 1, 2, 3, ..., например, можно представить в виде точек на бесконечном луче. Почему бесконечном? Потому что количество натуральных чисел неограниченно. Почему луче? Потому что натуральные числа начинаются с единицы и уходят в бесконечность направо. Таким образом, нам не понадобится «левая часть» луча. Это можно продемонстрировать наглядно. На листе бумаги начертим отрезок и обозначим на нем равноудаленные точки, каждая из которых будет представлять число. Это одинаковое расстояние между числами абсолютно условно и зависит от того, что именно нам необходимо отобразить на листе бумаги. И хотя представить последовательность чисел 1,2,3,4,... или 1,10,100,1000,..., — совсем не одно и то же, все это лишь вопрос масштаба. Итак, поговорим о возникновении исходной точки, самой интересной и неоднозначной цифры в истории чисел — «нуле».
Целые и рациональные числа
Если к натуральным числам прибавить ноль и поставить их в соответствующую отрицательную позицию, получим совокупность целых чисел. Чтобы представить их, необходимо не только обозначить «ноль», но и изобразить непрерывную прямую, где справа числа уходят в «бесконечность», а слева — в «минус бесконечность». Естественно, на прямой осталось много свободного места, так как между двумя последовательными целыми числами нет других целых чисел. Можно заполнить эти свободные места посредством так называемых рациональных чисел, представленных в виде коэффициентов двух целых. Говоря более простым языком, речь идет о дробных числах. Множество рациональных чисел также включает в себя и целые, поскольку любые из этих чисел могут быть представлены как коэффициент двух из них.

Плотное множество
Когда к натуральным числам мы присовокупляем целые, таким образом мы всего лишь добавляем точки слева от нуля. Без сомнения, добавляя рациональные числа, мы не только вводим их бесконечное количество, но и выполняем качественный скачок. Рациональные числа находятся на небольшом расстоянии друг от друга — настолько близко, что всегда можно найти еще одно между двумя другими. Иными словами, не существует двух смежных или последовательных рациональных чисел. Если человек, не очень хорошо разбирающийся в математике, будет утверждать, что рациональные числа а и Ь, где а < Ь, последовательны, то чтобы доказать ошибочность его суждения, достаточно проделать следующую операцию:

(а + b)/2
так как всегда считается, что a</2<b
Например, между 1/3 и 2/3 находится рациональное число 1/2, которое является их полусуммой. Набор таких характеристик показывает, что это плотное множество. Интересно было бы немного поразмышлять об этом свойстве хотя бы на интуитивном уровне. Мы с легкостью признали, что прямая, используемая для изображения рациональных чисел, бесконечна в обе стороны. Никто не будет это оспаривать, хотя никто никогда и не видел бесконечную прямую. Мы знаем совершенно точно, что на любом отрезке этой прямой, каким бы он ни был маленьким, поместится бесконечное количество рациональных чисел. Это в какой-то степени и обеспечивает ту плотность, о которой упоминалось выше. Возьмем для примера числа 1 и 2, представленные на прямой двумя точками. Совершенно ясно, что 1,5 — точка, находящаяся посередине между ними. Но между 1 и 1,5 располагается и 1,25, а между 1 и 1,25 — 1,125, и т.д. Теперь понятно, что мы всегда сможем заполнить промежутки между любыми рациональными числами, независимо от того, насколько близко они находятся друг к другу. Таким образом, мы утверждаем, что бесконечное количество чисел уместится в любом цифровом отрезке, какого бы размера он ни был. Это как если бы между двумя любыми числами появилась черная дыра, способная вместить в себя бесконечное множество.

Категория: Головоломки | Просмотров: 581 | Добавил: DjUm | Рейтинг: 0.0/0

Всего комментариев: 0

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]

Сайт, где вы найдете все для себя ;)